MATEMATIKA: MATEMATIKA

PENDIDIKAN MATEMATIKA

OLEH:

NAMA	:	JIBRAEL PADAMAI
NIM	:	1001030066
SEMESTER	:	IV
PRODI	:	PEND. MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS NUSA CENDANA

KUPANG

2011

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Saat ini, air bersih yang merupakan kebutuhan utama sehari-hari masyarakat semakin sulit didapatkan terutama di kota-kota besar karena pencemaran air tanah, pencemaran di aliran sungai karena sampah, pencemaran dari industri dan lain-lain. Dengan kebutuhan akan air bersih yang terus bertambah, sedangkan air bersih yang tersedia di alam semakin berkurang, maka untuk memenuhi kebutuhan akan air bersih, dibutuhkan suatu badan usaha atau organisasi yang mengelolanya guna memenuhi kebutuhan masyarakat akan air bersih.

Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) merupakan salah satu badan usaha yang menangani kebutuhan masyarakat akan air bersih. Dalam melayani permintaan pelanggan, PDAM harus mempertimbangkan dan mencari solusi atau kebijakan yang paling tepat tentang bagaimana sistem pendistribusian air dari reservoir-reservoir ke pelanggan agar air dapat tersalurkan dengan optimal sehingga kebutuhan masyarakat akan air bersih dapat terpenuhi. Jumlah reservoir (sumber air) dari PDAM jumlahnya terbatas dan pada setiap reservoir tidak bisa mengalirkan air ke tiap daerah tujuan.

Pada tiap pendistribusian air, dibutuhkan biaya operasional, yang tentunya jika biaya operasional ini dapat diminimalkan, maka keuntungannya semakin besar. Untuk itu alokasi pendistribusian air bersih harus diatur sedemikian rupa, karena terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber air (reservoir) ke tempat-tempat tujuan berbeda-beda, dan dari beberapa reservoir ke suatu tempat tujuan juga berbeda-beda.

Fakta menunjukkan bahwa pada PDAM biaya oprasional pendistribusian air bersih masih sangat besar. Hal ini selain disebabkan oleh keterbatasan alat produksi air bersih, terbatasnya ketersediaan air bersih yang akan dipasok ke daerah-daerah tujuan, dan kebutuhan masyarakat akan air bersih semakin meningkat juga karena alokasi pendistribusian air bersih belum optimal.

Model transportasi merupakan salah satu alternatif solusi yang dapat digunakan untuk membantu menyelesaikan permasalahan yang dihadapi PDAM. Hal ini disebabkan karena dalam perkembangannya, model transportasi telah diterapkan pada berbagai macam bidang industri, misalnya pada pendistribusian produk, yaitu penentuan daerah penjualan serta pengalokasian distribusi dan gudang.

Berdasarkan uraian di atas maka penulis tertarik untuk mengaplikasikan metode transportasi dalam persolan nyata dalam suatu penelitian dengan mengambil judul : ”MINIMALISASI BIAYA OPERASIONAL PENDISTRIBUSIAN AIR DI PDAM CABANG KOTA MAUMERE DENGAN MENGGUNAKAN METODE TRANSPORTASI”

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan uraian pada latar belakang, maka yang menjadi permasalahan dalam penulisan ini adalah bagaimana meminimalkan biaya operasional pendistribusian air dari reservoir ke pelanggan atau daerah tujuan dengan menggunakan metode transportasi pada PDAM cabang Kota Maumere?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan pokok permasalahan di atas, maka tujuan dari penulisan ini adalah: untuk menentukan alokasi pendistribusian air bersih dengan biaya minimum, dan menentukan titik asal, transit dan tujuan pendistribusian air..

1.4 Manfaat Penulisan

1) Bagi PDAM sebagai alat analisis dan perhitungan dalam rangka pengambilan keputusan yang tepat.

2) Memotivasi mahasiswa matematika untuk mengembangkan kemampuan dalam mengaplikasikan ilmu pengetahuan yang dimiliki terhadap situasi kehidupan nyata.

1.5 Batasan masalah

Untuk menghindari luasnya cakupan masalah maka kajian dibatasi pada beberapa macam metode yaitu : Northwest Corner (sudut barat laut), Least Cost (biaya terkecil), Vogel Approximation (VAM) dan Stepping Stone.

BAB II

TELAAH PUSTAKA

2.1 Model Transportasi

Menurut Subagya dkk, metode transportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama (supply) ke tempat-tempat yang membutuhkan (demand) secara optimal. Transportasi berkaitan dengan penentuan rencana biaya terendah untuk mengirimkan satu barang dari sejumlah sumber (misalnya, pabrik) ke sejumlah tujuan (misalnya, gudang). Kendala-kendala adalah banyaknya barang yang tersedia di setiap supply (asal) terbatas dan barang-barang tersebut dibutuhkan di masing-masing lokasi permintaan (tujuan). Tujuan umum adalah meminimalkan biaya pengiriman barang dari beberapa lokasi asal ke beberapa lokasi tujuan. Permasalahan transportasi dapat dilukiskan dalam bentuk model permasalahan Program Linear. Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan yaitu metode simpleks. Penelitian ini menelaah metode tahap satu pemecahan masalah transportasi yaitu North West Corner, Minimum Cost Value, dan Vogel’s Aproximation Method dan tahap dua yaitu Stepping Stone yang merupakan tahap lanjutan dari tahap satu.

Model transportasi adalah aplikasi dari model PL yang merupakan suatu prosedur iteratif untuk pemecahan masalah minimalisasi biaya pengiriman (distribusi) dari pabrik atau sumber supplay ke tujuan (pasar). Selain untuk persoalan distribusi, metode ini dapat digunakan untuk menentukan lokasi fasilitas pabrik baru. Metode transportasi adalah salah satu dari beberapa teknik pemecahan yang tersedia untuk masalah-masalah transportasi (pendistribusian produk). F.L. Hitchcock (1941), T.C. Koopmans (1949), dan G.B.Dantziq (1951) adalah orang-orang pertama sebagai kontributor yang mengembangkan teknik-teknik transportasi.

Ciri-ciri khusus dari metode transportasi adalah:

1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu.

2. Jumlah yang didistribusikan dari setiap sumber dan yang diminta oleh setiap tujuan adalah tertentu.

3. Jumlah yang dikirim atau yang diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan sesuai dengan permintaan atau kapasitas sumber. Jumlah permintaan dan penawaran seimbang dan apabila jumlah permintaan tidak sama dengan penawaran maka harus ditambahkan variabel dummy.

4. Biaya transportasi dari suatu sumber ke suatu tujuan adalah tertentu.

5. Jumlah variabel dasar m + n – 1, dimana m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolom. Apabila jumlah variabel dasar kurang dari m + n – 1 yang disebut dengan degenerasi, maka harus ditambahkan variabel dasar dengan nilai nol.

2.2 Model Matematis Metode Transportasi

Secara umum, sumber i (i = 1, 2, ..., m) mempunyai supply si unit yang akan didistribusikan ke tujuan-tujuan dan tujuan (j = 1, 2, ..., n) mempunyai permintaan di unit yang dikirim dari sumber-sumber. Asumsi dasar dari metode transportasi ini adalah biaya mendistribusikan unit-unit dari sumber i ke tujuan j berbanding langsung dengan jumlah yang akan didistribusikan, dimana Cij menyatakan biaya per unit yang didistribusikan.

Apabila Z merupakan biaya distribusi total dan Xij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) adalah jumlah unit yang harus didistribusikan dari sumber i ke tujuan j, maka formulasi pemrograman linier masalah transportasi adalah sebagai berikut:

a) Apabila kebutuhan sama dengan kapasitas:

Batasan-batasan:

Pada rumusan di atas semua kebutuhan dapat dipenuhi, semua kapasitas sumber dialokasikan, dan nilai alokasi harus positif.

b) Apabila kebutuhan lebih kecil dari kapasitas:

Batasan-batasan:

Pada rumusan ini semua kebutuhan dapat dipenuhi, tetapi kapasitas sumber tidak dapat dimanfaatkan sepenuhnya.

c) Apabila kebutuhan lebih besar dari kapasitas:

Batasan-batasan:

Pada rumusan ini tidak semua kebutuhan bisa dipenuhi meskipun kapasitas sumber telah digunakan sepenuhnya.

2.3 Langkah-langkah penyelesaian Model Transportasi

Ada empat langkah dasar dalam model transportasi, yaitu (Krajewski dan Ritzman, 1993, 852):

a) Menterjemahkan permasalahan menjadi bentuk tabel: pabrik pada baris dan daerah tujuan pada kolom. Setiap sel dalam tabel merupakan suatu rute pengiriman dari pabrik ke daerah tujuan.

b) Mencari penyelesaian layak pada variabel dasar. Metode yang dapat digunakan adalah Northwest Corner (sudut barat laut), Least Cost (biaya terkecil) dan Vogel Approximation (VAM).

1. Metode Northwest Corner

Ø Pendistribusian dimulai dari pojok kiri atas dan, diakhiri pada pojok kanan bawah.

Ø Setiap pendistribusian dipilih nilai sebanyak mungkin tanpa menyimpang dari sumber atau tujuan.

Ø Apabila variabel dasar sudah terisi semua, maka dihitung jumlah biaya yang akan dikeluarkan oleh perusahaan.

2. Metode Least Cost

Ø Pendistribusian dimulai dari biaya terkecil dan, apabila terdapat biaya terkecil lebih dari satu, maka diplih salah satu.

Ø Setiap pendistribusian dipilih nilai sebanyak mungkin tanpa mengabaikan jumlah sumber atau tujuan.

3. Metode Vogel Approximation

Ø Menghitung opportunity cost yang didasarkan pada dua biaya terkecil pada setiap baris dan kolom dan mengurangkan keduanya, hasil perhitungannya disebut penalty cost.

Ø Memilih nilai penalty cost terbesar diantara baris dan kolom.

Ø Memilih biaya terkecil dari nilai penalty cost terbesar dan mendistribusikan sejumlah nilai. Baris atau kolom penalty yang sudah terpilih diabaikan untuk langkah selanjutnya.

Ø Menyesuaikan jumlah permintaan dan penawaran untuk menunjukkan alokasi yang sudah dilakukan. Menghilangkan semua baris dan kolom dimana penawaran dan permintaan telah dihabiskan.

Ø Apabila jumlah penawaran dan permintaan belum sesuai, maka ulangi langkah pertama sampai terisi semua.

c) Mengidentifikasi Solusi Optimal. Langkah terakhir dalam penyelesaian model transportasi adalah mengevaluasi apakah alokasi terbaru merupakan solusi optimal atau tidak. Untuk melakukan ini, kita dapat mengaplikasikan Metode Stepping Stone atau MODI.

1. Metode Stepping Stone

a. Memilih salah satu sel kosong (yang tidak mendapatkan alokasi).

b. Mulai dari sel ini membuat jalur tertutup melalui sel-sel yang mendapatkan alokasi menuju sel kosong terpilih kembali. Jalur tertutup ini bergerak secara vertikal dan horisontal saja.

c. Mulai dengan tanda (+) pada sel kosong terpilih, kita menempatkan tanda (-) dan (+) secara bergantian pada setiap sudut jalur tertutup.

d. Menghitung indeks perbaikan dengan cara menjumlahkan biaya transportasi pada sel bertanda (+) dan mengurangkan biaya transportasi pada sel bertanda (-).

e. Mengulangi tahap a – d sampai indeks perbaikan untuk semua sel kosong telah terhitung. Jika indeks perbaikan dari sel-sel kosong lebih besar atau sama dengan nol, solusi optimal telah tercapai.

2. Metode MODI

Ø Menentukan nilai m_iuntuk setiap baris dan nilai-nilai n_j untuk setiap kolom dengan menggunakan hubungan C_ij = m_i + n_juntuk semua variabel basis dan menentukan nilai m₁ = 0.

Ø Menghitung perubahan biaya C_ijuntuk setiap variabel non basis dengan menggunakan rumus C_ij – m_i – n_j.

Ø Apabila hasil perhitungan terdapat nilai C_ij negatif, maka solusi belum optimal. Oleh karena itu dipilih X_ij dengan nilai C_ij negatif terbesar sebagai entering variabel.

Ø Mengalokasikan sejumlah nilai ke entering variabel X_ij sesuai dengan proses Stepping Stone dan mengulangi langkah pertama.

2.4 Tabel model transportasi

Pada tabel transportasi, sumber diletakkan pada baris, sedangkan tujuan diletakkan pada kolom. Jumlah penawaran dari masing-masing sumber diletakkan pada kolom paling akhir dan jumlah masing-masing permintaan diletakkan pada baris paling akhir. Segi empat kecil yang berisi C₁₁, C₁₂,..., C_mn merupakan biaya pendistribusian dari sumber ke tujuan, sedangkan segi empat besar merupakan jumlah yang akan didistribusikan dari setiap sumber ke setiap tujuan. Berikut adalah tabel model transportasi.

Tabel 1 Model Transportasi :

Sumber

Tujuan

Kapasitas

...

nsss

C₁₁

X₁₁

C₁₂

X₁₂

...

C_1n

X₁₃

S₁

C₂₁

X₂₁

C₂₂

X₂₂

...

C_2n

X₂₃

S₂

C_m1

X₃₁

C_m2

X₃₂

...

C_mn

X₃₂

S₃

kebutuhan

D₁

D₂

...

D₄

2.5 Problem Dalam Metode Transportasi :

Dalam situasi praktikal, aplikasi metode transportasi dapat menghadapi dua kasus, yaitu ketidakseimbangan supply dan demand dan degeneracy.

a. Ketidakseimbangan Supply dan Demand

Secara teori kebanyakan model transportasi digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana total kapasitas (supply) adalah sama dengan (seimbang) dengan total permintaan (demand). Padahal secara teknis mungkin yang terjadi adalah ketidakseimbangan diantara keduanya.. Dengan kata lain, secara praktikal supply bisa lebih kecil atau lebih besar dari demand. Masing-masing kondisi ketidakseimbangan ini dapat diselesaikan dengan membuat dummy pabrik atau dummy toko.. Berikut ini penjelasan bagaimana menyelesaikan kasus ketidakseimbangan ini.

Ø Supply lebih besar dari demands

Misalkan sebuah pabrik memiliki total supply adalah 275 kaleng dan total demand adalah 255 kaleng. Untuk menyelesaikan persoalan ini, kita harus menyeimbangkan kembali supply dan demand dengan menetapkan dummy toko yang memiliki demand sebesar kelebihan supply atas demand (atau 20 kaleng). Dummy toko pada kolom table transportasi pada dasarnya adalah toko buatan (tidak riil). Dengan demikian, biaya distribusi dari pabrik ke dummy toko ini adalah nol. Untuk selanjutnya, kita bisa mengaplikasikan metode-metode yang telah dibicarakan sub-bab sebelumnya untuk mendapatkan skedul distribusi yang optimal.

Ø Supply lebih kecil dari demand

Misalkan sebuah pabrik memiliki total demand adalah 275 kaleng dan total supply adalah 255 kaleng. Untuk menyelesaikan persoalan ini, kita harus menyeimbangkan kembali supply dan demand dengan menetapkan dummy pabrik yang memiliki sebesar kelebihan demand atas supply (atau 20 kaleng). Dummy toko pada kolom table transportasi pada dasarnya adalah toko buatan (tidak riil). Dengan demikian, biaya distribusi dari pabrik ke dummy toko ini adalah nol. Untuk selanjutnya, kita bisa mengaplikasikan metode-metode yang telah dibicarakan sub-bab sebelumnya untuk mendapatkan skedul distribusi yang optimal.

b. Kasus Degeneracy

Kasus degeneracy dalam metode transportasi terjadi jika jumlah sel yang mendapat alokasi dalam tabel transportasi kurang dari jumlah baris ditambah jumlah kolom dikurangi satu (m + n – 1). Akibat langsung dari kasus degeneracy adalah dua metode untuk mengevaluasi solusi yang ada, yaitu metode Stepping Stone dan MODI, tidak dapat diaplikasikan. Untuk itu, prosedur tambahan dibutuhkan untuk menyelesaikan persoalan degeneracy ini. Prosedur yang dimaksud adalah dengan menetapkan salah satu dari sel kosong dan menempatkan alokasi bernilai nol pada sel tersebut sehingga persyaratan jumlah sel yang mendapat alokasi sebanyak m + n – 1 terpenuhi. Pemilihan sel dilakukan secara sembarang sepanjang evaluasi dengan metode Stepping Stone dan MODI dapat dilakukan. Selanjutnya, kita mengasumsikan sel ini sebagai sel yang mendapatkan alokasi.

BAB III

METODE PENULISAN

3.1 Lokasi penelitian

Penelitian yang berkaitan dengan pengambilan data ini dilakukan pada PDAM cabang Kota Maumere. Penelitian ini lebih ditujukan pada data tentang alokasi dan biaya pendistribusian air bersih yang dilakukan oleh PDAM Kota Maumere.

3.2 Jenis penelitian

Penelitian ini adalah penelitian matematika yang termasuk dalam kategori pengembangan metode matematika terapan, yang diaplikasikan secara langsung dalam kehidupan nyata. Dengan demikian metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode analisis matematik dengan menggunakan model-model yang sesuai.

3.3 Prosedur penelitian

Adapun prosedur penelitian ini adalah mengaplikasikan model transportasi guna megoptimalkan pendapatan pada PDAM cabang Kota Maumere yakni dengan meminimalisasi biaya alokasi pendistribusian air bersih pada PDAM cabang Kota Maumere dengan menggunakan metode-metode pada model transportasi.

3.4 Variabel-variabel data

Variabel-variabel data yang digunakan dalam data penelitian ini terdiri dari :

· Variabel keputusan

Variabel keputusan adalah variabel yang belum diketahui.

Variabelnya terdiri dari :

Banyaknya kapasitas air bersih (m³⁾ yang didistribusikan dari reservoir-reservoir ke daerah tujuan (X_mn).

· Variabel fungsi tujuan

Fungsi tujuan adalah untuk meminimumkan biaya dan memaksimumkan pendapatan.

Variabelnya terdiri dari :

Pengeluaran yang akan dimaksimumkan (Z).

· Variabel sistem kendala

Sistem kendala adalah keterbatasan sumber daya yang tersedia.

Variabelnya terdiri dari :

ü Jumlah air atau kapasitas air bersih (m³) yang terdapat pada setiap reservoir.

ü Jumlah daerah tujuan pendistribusian air bersih.

ü Jumlah besarnya biaya dari setiap reservoir ke daerah tujuan.

3.5 Jenis dan sumber data

v Jenis data

Jenis data dalam penelitian ini adalah data kuantitatif. Data kuantitatif adalah data yang diperoleh dalam bentuk angka.

v Sumber data

Sumber data dalam penelitian ini adalah data primer. Data primer adalah data yang diperoleh langsung dari obyek penelitian, dalam hal ini pada kantor PDAM Kota Maumere.

3.6 Teknik pengumpulan data

Untuk mengumpulkan data yang diperlukan dalam penelitian ini, menggunakan teknik pengumpulan data melalui wawancara dimana peneliti mengumpulkan data dari pihak PDAM cabang Maumere yang berkaitan dengan biaya operasional dan alokasi pendistribusian air bersih.

3.7 Teknik analisa data

Setelah data diperoleh, data akan dianalisis dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a) Menterjemahkan permasalahan menjadi bentuk tabel: reservoir pada baris dan daerah tujuan pada kolom. Setiap sel dalam tabel merupakan suatu rute pengiriman dari reservoir ke daerah tujuan.

b) Menentukan solusi fisibel awal (initial feasible solution) dengan Metode North West Corner Rule.

c) Melanjutkan pencarian solusi optimal dengan menggunakan metode Vogel’s Approximation.

d) Melakukan perbaikan pada solusi awal dengan menggunakan metode Stepping Stone yakni menghitung indeks perbaikan dengan menggunakan jalur tertutup.

e) Melanjutkan perhitungan dengan Metode Modified Distribution yakni dengan menghitung indeks perbaikan untuk setiap sel kosong tanpa menggunakan jalur tertutup.

f) Mengidentifikasi Solusi Optimal. Langkah terakhir dalam penyelesaian model transportasi adalah mengevaluasi apakah alokasi terbaru merupakan solusi optimal atau tidak. Untuk melakukan ini, kita kembali mengaplikasikan Metode Stepping Stone atau MODI.

BAB IV

ANALISIS DAN SINTESIS

4.1 Data Hasil Penelitian

Berdasarkan hasil penelitian yang dilakukan pada PDAM cabang kota Maumere maka diperoleh data sebagai berikut:

v PDAM kota Maumere memiliki 3 buah reservoir yakni:

1. Wair pelip yang terletak di kecamatan Nita

2. Kopeta yang terletak di kecamatan Kopeta Maumere

3. Waigete yang terletak di kecamatan Waigete

v Ketiga reservoir tersebut disalurkan untuk memenuhi kebutuhan akan air bersih di kota Maumere yang meliputi 4 daerah tujuan yakni:

1. Kecamatan Nita

2. Kecamatan Kopeta Maumere

3. Kecamatan Waigete

4. Kecamatan Kewapante

Adapun data tentang alokasi dan biaya pendistribusian air bersih yang dilakukan oleh PDAM kota Maumere telah peneliti sajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut:

Tabel 2. Data alokasi dan pendistribusian air bersih

Reservoir	Kapasitas/bulan (dalam ribuan m³)
Wair pelip	100
Kopeta Maumere	75
Waigete	80
Jumlah	255

Reservoir	Kebutuhan/bulan (dalam ribuan m³)
Nita	70
Maumere	90
Waigete	45
Kewapante	50
Jumlah	255

Dari	Biaya tiap m³ (dalam ribuan)
Dari	Nita	Maumere	Waigete	Kewapante
Wair pelip	1	4	6	7
Kopeta	3	1	2	5
Waigete	6	2	1	3

4.2 Analisis Model Transportasi

Setelah mengambil data penelitian maka selanjutnya peneliti menyelesaikan dengan menggunakan model transportasi. Adapun dalam menyelesaikan persoalan ini peneliti mengikuti urutan penyelesaian dari model transportasi yakni:

a. Menterjemahkan permasalahan menjadi bentuk tabel: reservoir pada baris dan daerah tujuan pada kolom. Setiap sel dalam tabel merupakan suatu rute pengiriman dari reservoir ke daerah tujuan.

b. Menentukan solusi feasible awal (innitial feasible solution) dengan Methode North West Corner Rule.

c. Melanjutkan pencarian solusi optimal dengan menggunaka Metode Vogel’s Aproximation.

d. Melakukan perbaikan pada solusi awal dengan menggunakan metode Stepping Stone yakni menghitung indeks perbaikan dengan menggunakan jalur tertutup.

e. Mengidentifikasi solusi optimal. Langkah terakhir dalam penyelesaian model transportasi adalah mengevaluasi apakah alokasi terbaru merupakan solusi optimal atau tidak. Untuk melakukan ini, kita kembali mengaplikasikan metode Stepping Stone atau MODI. Untuk permasalahan ini peneliti menggunakan metode Stepping Stone.

4.2.1 Penyusunan Tabel Alokasi

Data hasil penelitian disusun dalam sebuah tabel alokasi seperti yang terlihat pada tabel 3, dimana jumlah kebutuhan tiap daerah diletakkan pada baris terakhir dan kapasitas tiap reservoir diletakkan pada kolom terakhir. Sedangkan biayanya diletakkan pada segiempat kecil pada tabel.

Tabel 3. Alokasi air bersih

Reservoir

Tujuan

Kapasitas

Nita

Maumere

Waigete

Kewapante

Wairpelip

100

Kopeta

Waigete

Kebutuhan

255

4.2.2 Menentukan Solusi Awal (initial feasible solution)

Setelah membuat tabel alokasi selanjutnya dicari solusi awal dengan menggunakan metode North West Corner Rule (pedoman sudut barat laut) yakni sesuai dengan namanya, memulai alokasi awal dari sel pada sisi paling kiri atas dengan cara:

1. Mengalokasikan semua kapasitas pada setiap baris sebelum pindah pada baris berikutnya;

2. Memenuhi semua kebutuhan pada setiap kolom sebelum pindah pada kolom sebelah kanan; dan

3. Menyeimbangkan kapasitas dan kebutuhan.

Hasilnya dapat dilihat pada tabel 4. Berdasarkan tabel di atas maka bila PDAM mengalokasikan dan mendistribusikan air bersih sesuai dengan yang disusun dalam solusi awal maka biaya pendistribusian yang harus dikeluarkan oleh PDAM dalam sebulan adalah:

Biaya = (70 x 7) + (30 x 2) + (60 x 1) + (15 x 5) + (30 x 7) + (50 x 4)

= [ 490 + 60 + 60 + 75 + 210 + 200 ] x 1000 x 1000

= Rp 1.095.000.000,-

Tabel 4. Alokasi air bersih

Reservoir

Tujuan

Kapasitas

Nita

Mmre

Wgete

Kwpte

Wairpelip

100

Kopeta

Waigete

Kebutuhan

255

4.2.3 Menentukan Solusi Optimum dengan Vogel’s Aproximation Methode

Selanjutnya sesuai dengan tujuan kita yakni meminimalisasi biaya tersebut agar diperoleh biaya yang optimum. Untuk masalah ini peneliti menentukan solusi optimal dengan menggunakan Vogel’s Aproximation Methode (VAM). Ada 6 langkah dalam aplikasi VAM yaitu:

1. Menentukan selisih antara dua biaya transportasi terendah pada setiap kolom dan baris.

Pada baris Wairpelip, biaya angkut terkecil = 2; dan nomor dua dari yang terkecil = 4. Jadi, nilai baris Wairpelip = 4 – 2 = 2.

Baris Kopeta = 2 – 1 = 1.

Baris Waigete = 6 – 4 = 2.

Pada kolom Nita, biaya angkut terkecil = 3; dan nomor dua dari terkecil = 6. Jadi, kolom Nita = 6 – 3 = 3.

Kolom Maumere = 2 – 1 = 1.

Kolom Waigete = 5 – 4 = 1.

Kolom Kewapante = 4 – 2 = 2.

2. Memilih kolom atau baris dengan selisih terbesar. Dalam kasus ini, kita memilih kolom Nita.

3. Mengalokasikan unit semaksimal mungkin pada sel berbiaya transportasi terkecil pada kolom atau baris terpilih. Dalam kasus ini, kita mengalokasikan 70 unit pada sel Kopeta – Nita.

4. Menghapus setiap kolom atau baris yang telah terpenuhi dengan memberikan tanda X pada setiap sel.

Tabel 5. Feasible awal dari VAM

3 1 1 2

Reservoir

Tujuan

Kapasitas

Nita

Mmre

Wgete

Kwpte

Wairpelip

100

Kopeta

Waigete

Kebutuhan

255

5. Menghitung kembali selisih biaya transportasi setelah menghapus baris atau kolom pada tahap sebelumnya.

6. Kembali mulai dari langkah 2 hingga solusi awal telah diperoleh.

Tabel 6. Feasible solution dari VAM

Reservoir	Tujuan				Kapasitas	Perbedaan baris
Reservoir	NT	MR	Wg	KW	Kapasitas	Perbedaan baris
WP	7	2	4	5	100	2
KP	3	1	5	2	75	1
WG	6	9	7	4	80	2
Kebutuhan	70	90	45	50	Pilihan X_KP-NT = 70 Hilangkan kolom NT
Perbedaan kolom	3	1	1	2	Pilihan X_KP-NT = 70 Hilangkan kolom NT

Tabel 7. Feasible solution dari VAM lanjutan

Reservoir	Tujuan			Kapasitas	Perbedaan baris
Reservoir	MR	Wg	KW	Kapasitas	Perbedaan baris
WP	2	4	5	100	3
KP	1	5	2	75	2
WG	9	7	4	80	3
Kebutuhan	90	45	50	Pilihan X_WG-KW = 50 Hilangkan baris WG
Perbedaan kolom	1	1	2	Pilihan X_WG-KW = 50 Hilangkan baris WG

Tabel 8. Feasible solution dari VAM lanjutan

Reservoir	Tujuan			Kapasitas	Perbedaan baris
Reservoir	MR	Wg	KW	Kapasitas	Perbedaan baris
WP	2	4	5	100	2
KP	1	5	2	75	1
Kebutuhan	90	45	50	Pilihan X_KP-KW = 0 Hilangkan kolom KW
Perbedaan kolom	1	1	3	Pilihan X_KP-KW = 0 Hilangkan kolom KW

Pilihan X_KP-KW = 0 karena kebutuhan untuk KW telah terpenuhi (lihat jawaban pada tabel ...).

Tabel 9. Feasible solution dari VAM lanjutan

Reservoir	Tujuan		Kapasitas	Perbedaan baris
Reservoir	MR	Wg	Kapasitas	Perbedaan baris
WP	2	4	100	2
KP	1	5	75	4
Kebutuhan	90	45	Pilihan X_KP-MR = 5 Hilangkan baris KP
Perbedaan kolom	1	1	Pilihan X_KP-MR = 5 Hilangkan baris KP

Pilihan X_KP-MR = 5, karena kapasitas untuk KP telah terpenuhi sebanyak 70 unit (lihat jawaban pada tabel ...).

Tabel 10. Feasible solution dari VAM lanjutan

Reservoir	Tujuan		Kapasitas	Perbedaan baris
Reservoir	MR	Wg	Kapasitas	Perbedaan baris
WP	2	4	100	2
Kebutuhan	90	45	Pilihan X_WP-Wg = 15 X_WP-MR = 85
Perbedaan kolom	2	4	Pilihan X_WP-Wg = 15 X_WP-MR = 85

Pilihan X_WP-Wg = 15, karena X_WG-KW = 50 sedangkan kapasitas WG adalah 80 maka X_WG-Wg = 30. Kebutuhan untuk Wg sendiri adalah 45 sehingga pilihan X_WP-Wg = 45 – 30 = 15.

X_WP-MR = 85, karena pilihan X_KP-MR = 5 sedangkan kebutuhan MR adalah 90 sehingga X_WP-MR= 90 – 5 = 85.

Maka diperoleh solusi awal sebagai berikut:

Tabel 11. Feasible awal dari VAM

Reservoir

Tujuan

Kapasitas

Nita

Mmre

Wgete

Kwpte

Wairpelip

100

Kopeta

Waigete

Kebutuhan

255

4.2.4 Melakukan Perbaikan pada solusi awal dengan metode Stepping Stone

Langkah selanjutnya adalah melakukan perbaikan pada solusi awal yakni dengan menggunakan metode Stepping Stone, dimana digunakan perbaikan indeks dengan menggunakan jalur tertutup.

a.) Memilih salah satu sel kosong (yang tidak mendapatkan alokasi).

b.) Mulai dari sel ini membuat jalur tertutup melalui sel-sel yang mendapatkan alokasi menuju sel kosong terpilih kembali. Jalur tertutup ini bergerak secara vertikal dan horisontal saja.

c.) Mulai dengan tanda (+) pada sel kosong terpilih kita menempatkan tanda (-) dan (+) secara bergantian pada setiap sudut jalur tertutup.

d.) Menghitung indeks perbaikan dengan cara menjumlahkan biaya transpotasi pada sel bertanda (+) dan mengurangkan biaya transportasi pada sel bertanda (-).

e.) Mengulangi tahap a.) – d.) sampai indeks perbaikan unntuk semua sel kosong telah terhitung. Jika indeks perbaikan dari sel-sel kosong lebih besar atau sama dengan nol, solusi optimal telah tercapai.

Mengikuti arah jalur tertutup, indeks perbaikan untuk sel WP-Wg adalah: (WP-Wg) – (WP-MR) + (KM-MR) – (KM-Wg) = 4 – 2 + 1 – 5 = -2

Reservoir

Tujuan

Kapasitas

30 (-)

(+)

100

(+)

(-)

Kebutuhan

255

v WP-KW = (WP-KW) - (WP-MR) + (KP-MR) – (KP-Wg) + (WG-Wg) – (WG-KW) (5 – 2 + 1 – 5 + 7 - 4) = 2

Reservoir

Tujuan

Kapasitas

(-)

(+)

100

(+)

(-)

(+)

(-)

Kebutuhan

255

v WP-Wg = 4 – 2 + 1 – 5 = -2

v WP-KW = 5 – 2 + 1 – 5 + 7 – 4 = 2

v KP-NT = 3 – 7 + 2 – 1 = -3

v KP-KW = 2 – 5 + 7 – 4 = 0

v WG-NT = 6 – 7 + 2 – 1 + 5 – 7 = -2

v WG-MR = 9 – 1 + 5 – 7 = 6

Penentuan jalur maksimum yang bisa dialokasikan pada sel yang memiliki indeks perbaikan negatif dengan angka terbesar didasarkan pada sel bertanda negatif pada jalur tertutup. Untuk kasus sel KP-NT, sel-sel bertanda negatif pada jalur tertutup adalah sel WP-NT dan KP-MR. Kuantitas terkecil diantara sel-sel tersebut adalah 60 (yang dialokasikan pada sel KP-MR).

Tabel 12. Alokasi baru permasalahan PDAM

Reservoir

Tujuan

Kapasitas

100

Kebutuhan

255

Selanjutnya, mengikuti konsep jalur tertutup, kita akan menambahkan alokasi 60 kaleng pada sel KP-NT (0 + 60 = 60), mengurangi sel WP-NT menjadi 10 (70 – 60), menambah sel WP-MR menjadi 90 (30 + 60) dan mengurangi sel KP-MR menjadi 0 (60 – 60).

4.2.5 Mengidentifikasi Solusi Optimal

Langkah terakhir dalam model transportasi adalah mengevaluasi apakah alokasi terbaru merupakan solusi optimal atau tidak. Untuk melakukan ini, kita kembali mengaplikasikan metode Stepping Stone atau MODI. Untuk masalah ini digunakan metode Stepping Stone. Aplikasi metode Stepping Stone menghasilkan indeks perbaikan untuk sel kosong sebagai berikut:

WP-Wg = 4 – 7 + 3 – 5 = -5

WP-KW = 5 – 7 + 3 – 5 + 7 – 4 = -1

KP-NT = 1 – 2 + 7 – 3 = 3

KP-KW = 2 – 5 + 7 – 4 = 0

WG-NT = 6 – 7 + 5 – 3 = 1

WG-MR = 9 – 2 + 7 – 3 + 5 - 7 = 9

Karena masih ada indeks perbaikan yang negatif, alokasi pada Tabel ... di atas masih belum optimal. Alokasi pada sel WP-Wg akan menurunkan total biaya distribusi sebesar Rp 5000 (5 x 1000) setiap m³ air yang dialokasikan pada sel tersebut. Selanjutnya, jika proses alokasi baru diteruskan maka kita akan mendapatkan solusi optimal seperti pada Tabel ... berikut

Reservoir

Tujuan

Kapasitas

100

Kebutuhan

255

Tabel ini menunjukkan bahwa skedul pendistribusian air bersih adalah sebagai berikut:

v Dari Wairpelip ke Maumere sebanyak 55.000 m³

v Dari Wairpelip ke Waigete sebanyak 45.000 m³

v Dari Kopeta ke Nita sebanyak 40.000 m³

v Dari Kopeta ke Maumere sebanyak 35.000 m³

v Dari Waigete ke Kewapante sebanyak 50.000 m³

Total biaya transportasi dari skedul ini adalah sebesar:

(55.000 x 2000) + (45.000 x 4000) + (40.000 x 3000) + (35.000 x 1000) + (50.000 x 4000) = Rp 525.000.000

Jadi, terjadi minimalisasi biaya alokasi pendistribusian air PDAM cabang kota Maumere sebesar Rp 570.000.000 (Rp 1.095.000.000 – Rp 525.000.000).

BAB V

KESIMPULAN DAN REKOMENDASI

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan di atas maka dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut:

Ø Total biaya alokasi dan pendistribusian air yang dikeluarkan oleh PDAM lebih besar dibandingkan dengan biaya yang sebenarnya dari hasil perhitungan metode transportasi.

5.2 Saran

Berdasarkan kesimpulan di atas, dapat diberikan saran bahwa akan lebih menguntungkan bila perusahaan-perusahaan menggunakan metode transportasi untuk menghitung biaya transportasi. Agar diperoleh pola distribusi yang lebih efisien dan biaya transportasi total yang optimal dapat tercapai.

DAFTAR PUSTAKA

Dwi Wahyuni, Rizki. 2002. Evaluasi Biaya Pada Perusahaan Tenun ”Pelangi” Lawang.

Haningsih, Luna. 2007. Pengertian Model Transportasi dan Aplikasinya.

Subagyo, Pangestu. 1993. Dasar-dasar Operation Research. Yogyakarta : BPFE.

Zulfikarijah, Fien. 2003. Operation Research. Malang : Bayumedia.

MATEMATIKA

Senin, 23 April 2012

MATEMATIKA

1 komentar: